相信最近不少人都看到了那个很厉害很厉害的证明自然数之和是-1/12的那个东西了。

当然了，没看过也不要紧，这里就把你们传送过去“自然数之和是个负数！？”这个视频的证明里面用的最关键的一个东西就是1，-1，1，-1……这个调和级数的求和是1/2.这是关于这个序列求和的维基传送门格兰迪级数。

现在基本的问题就算是说清楚了，我们这个帖子关心的是它的应用，所以原理上的东西就不多说了（多说了我也说不清楚啊），下面我就来搬运一个简单的应用，所运用的知识大概普化PartⅠ都讲到过，下面贴转载内容。

现在有一个谐振子（如果觉得这个名字听起来有点陌生，你可以把它想象成量子化的弹簧），它可以处在各种不同的能级上，即：

这里的是一个很小很小的量。现在来了一大把这样的弹簧，但是它们互不影响，而是各自独立振动起来，这时候我们可以直接用 Boltzmann 分布来考虑它们的平均能量：

假如把这么一大堆互相不影响的弹簧都放到高温的环境里（），于是：

其实如果这只是一个弹簧，计算平均能量也可以是这样来算的，这样终于就有点要求和的意思了：

根据其他回答者给出的海量帮助，这个求和应该不难算出。只是你算出来还是会觉得有点奇怪，这么一大把弹簧，在这么高的温度下狂振动，最后算出来能量竟然为负，还是有点奇怪，但是假如这就是我们的世界，如果我们生活的世界就是一个弹簧乱振的世界呢？事实上，我们还真可以这样看。我们可以把平时所说的「真空」看成就是有很多很多的弹簧在振动着，我们无时无刻不生活在发散当中，如果要来进行比较，那么我们应该扣除掉这两个体系里面那些同样发散的部分，这样我们才能来比较两个体系。这就类似于高中的时候物理老师天天提醒的「零势能点」的选择。

那么我们现在就真的来比较两个体系，这其实就是介绍一下 Casimir 效应。

拿出来两块金属板（如下图），在两块金属板之间，这就是传说中的无限深势阱，从普通物理课开始，在驻波、波导管、薛定谔方程等问题里，你可能已经看过无数这样的题目了。

两块金属板里面，不是所有的频率的「弹簧」都能生存下来，你得跟边界条件配合起来才可以，因此板间的态是受限的，与两块板的距离有关的，虽然仍然可以有无穷的状态，从很低的能量态到很高的能量态，但总是不如板外的状态那么多。板内、板外的这种差异，就为两块板之间带来了相互作用。相关的实验也就证明了真空其实是不空的。

在金属板外的「真空」，所有可能的频率都生存了下来。如果要来比较金属板之间和金属板之外的情况，就需要拿无穷跟无穷来比较，这时候上面的求和就有意义了。如果这二者之差仍然是一个无穷，这时候你可以引入一个截止频率来做（对应我上面的简单的模型，就是有限温度），当然，也可以不怕无穷。

嗯，好像有点长，不过想象一下如果在无限高温下分子振动的总能量按照这个原理算下来就会是一个负值了，看起来还是蛮有趣的样子嘛。